Екі еселенген көбейтіндіге дейін толықтыру қажет болғандықтан, белгісіз және белгілі бөліктерін бір бүтін ретінде қарастырайық:

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\,\color{red}{ ?} -xy+(3y\,)^2=(4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2.\)

Төмендегі өрнек

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2\)

бізге табу керек екі еселенген көбейтіндісі бар қосындының толық квадраты екендігі белгілі.

Демек,

\(\displaystyle (4x\,)^2+\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін.

Бізге квадраттар белгілі:

\(\displaystyle a^{\,2}=(4x\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(3y\,)^2,\)

бірақ екі еселенген көбейтінді белгісіз:

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}\color{red}{(\,?-xy\,)}.\)

Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle \color{blue}{4x}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-4x},\, b\) \(\displaystyle \color{blue}{3y}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-3y}\) болуы мүмкін. 

\(\displaystyle x\) және \(\displaystyle y\) параметрлері оң және бізге оң сандардың қосындысының квадратын алу қажет болғандықтан, онда \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) оң, яғни «+» таңбасымен аламыз: 

\(\displaystyle a=\color{blue}{4x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{3y}.\)

Сондықтан

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4x\cdot 3y,\)

\(\displaystyle 2ab=24xy.\)

Демек,

\(\displaystyle \color{red}{ ?-xy}=24xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=24xy+xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=25xy.\)

Осылайша,

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\,\color{red}{ ?}-xy+(3y\,)^2=(4x\,)^2 \color{red}{ +25xy}-xy+(3y\,)^2\)

және

\(\displaystyle (4x\,)^2 {\bf +\,25}\pmb{x}\pmb{y}-xy+(3y\,)^2=({\bf 4}\pmb{x}+{\bf 3}\pmb{y}\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (4x\,)^2 {\bf +\,25}\pmb{x}\pmb{y}-xy+(3y\,)^2=({\bf 4}\pmb{x}+{\bf 3}\pmb{y}\,)^2.\)