Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое:

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}.\)

Известно, что выражение

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Заметим, что \(\displaystyle 4z^{\,2}=2^2z^{\,2}=(2z\,)^2\) и \(\displaystyle 9u^{\,2}=3^2u^{\,2}=(3u\,)^2.\)

Нам известны квадраты:

 \(\displaystyle a^{\,2}=(2z\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(3u\,)^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение:

\(\displaystyle 2ab=\color{red}{(\,?-zu\,)}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{2z}\) или \(\displaystyle \color{green}{-2z},\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3u}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3u}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle z\) и \(\displaystyle u\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{2z},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{3u}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 2z\cdot 3u,\)

\(\displaystyle 2ab=12zu.\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{?-zu}=12zu,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=12zu+zu,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=13zu.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}\color{red}{+13zu}-zu+9u^{\,2}\)

и

\(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2.\)