Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата суммы - 2

Задание

Дополните выражение до квадрата второго слагаемого и найдите квадрат суммы, если известны квадрат первого слагаемого и удвоенное произведение первого слагаемого на второе:
 

\(\displaystyle 11^2+44h\)
2h^2
\(\displaystyle +6h^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
 

Для ввода выражений используйте меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Так как надо дополнить квадрат второго слагаемого, то рассмотрим неизвестное и выражение \(\displaystyle 6h^{\,2}\) как единое целое:

\(\displaystyle 11^2+44h+\,\color{red}{?}+6h^{\,2}=11^2+44h+\color{red}{(\,?+6h^{\,2})}.\)

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 11^2+44h+\color{red}{(\,?+6h^{\,2})}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle 11^2+44h+\color{red}{(\,?+6h^{\,2})}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 11^2+44h+\color{red}{(\,?+6h^{\,2})}=a^{\, 2}+2ab+\color{red}{b^{\, 2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle 11^2=a^{\, 2},\)

\(\displaystyle 44h=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат:

\(\displaystyle \color{red}{(\,?+6h^{\,2})}=b^{\,2}.\)

Из того, что \(\displaystyle a^{\, 2}=11^2,\) следует, что \(\displaystyle a=11\) или \(\displaystyle a=-11.\)

Выберем вариант со знаком плюс "+", то есть \(\displaystyle a=11.\)

Тогда, подставляя вместо \(\displaystyle a\) число \(\displaystyle 11\) в равенство \(\displaystyle 44h=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 44h=2\cdot 11 \cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{44h}{2\cdot 11},\)

\(\displaystyle b=2h.\)

Поэтому можно найти недостающее значение:

\(\displaystyle \color{red}{?+6h^{\,2}}=(2h\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?+6h^{\,2}}=2^2h^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?+6h^{\,2}}=4h^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=4h^{\,2}-6h^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=-2h^{\,2}.\)

 

Таким образом, 

\(\displaystyle 11^2+44h+\,\color{red}{?}+6h^{\,2}=11^2+44h \color{red}{-2h^{\,2}}+6h^{\,2}\)

и

\(\displaystyle 11^2+44h \,{\bf -\,2}\pmb{h}^{\bf\,2}+6h^{\,2}=(11+2h\,)^2.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 11^2+44h \,{\bf -\,2}\pmb{h}^{\bf\,2}+6h^{\,2}=(11+2h\,)^2.\)