Так как надо дополнить число, то рассмотрим неизвестное и число \(\displaystyle 5\) как единое целое:

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\,\color{red}{?}+5=25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}.\)

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}=a^{\, 2}+2ab+\color{red}{b^{\, 2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Заметим, что \(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2.\)

Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle 25s^{\,2}=a^{\, 2}\) или \(\displaystyle (5s\,)^{\,2}=a^{\, 2},\)

\(\displaystyle 10s=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат:

\(\displaystyle \color{red}{(\,?+5)}=b^{\,2}.\)

Из того, что \(\displaystyle a^{\, 2}=(5s\,)^{\,2},\) следует, что \(\displaystyle a=5s\) или \(\displaystyle a=-5s.\)

Выберем вариант со знаком плюс "+", то есть \(\displaystyle a=5s.\)

Тогда, подставляя вместо \(\displaystyle a\) выражение \(\displaystyle 5s\) в равенство \(\displaystyle 10s=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 10s=2\cdot 5s \cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{10s}{2\cdot 5s},\)

\(\displaystyle b=1.\)

Поэтому можно найти недостающее значение:

\(\displaystyle \color{red}{?+5}=1^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?+5}=1,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=1-5,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=-4.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\,\color{red}{?}+5=25s^{\,2}+10s \color{red}{-4}+5\)

и

\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s \,{\bf -\,4}+5=(5s+1\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle 25s^{\,2}+10s \,{\bf -\,4}+5=(5s+1\,)^2.\)