Бізге

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}\)

өрнегі айырманың толық квадраты болып табылатындығы және екі еселенген көбейтіндіні табу керек екендігі белгілі.

Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}-2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)

Бізге бір квадрат және екі еселенген көбейтінді белгілі

\(\displaystyle (4x\,)^2=a^{\,2},\)

\(\displaystyle 8xy=2ab,\)

бірақ табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін

\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\) екінші квадрат белгісіз

\(\displaystyle a^{\,2}=(4x\,)^2,\) дегеннен \(\displaystyle a=4x\) немесе \(\displaystyle a=-4x\) шығады.

Егер \(\displaystyle a=4x,\) болса, онда теңдікке \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 8xy=2ab,\) ауыстыра отырып, төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle 8xy=2\cdot 4x\cdot b,\)

\(\displaystyle 8xy=8xb,\)

\(\displaystyle b=\frac{8xy}{8x},\)

\(\displaystyle b=y.\)

Сондықтан жетіспейтін квадрат келесіге тең

\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)

Осылайша,

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(4x\,)^2-8xy+\color{red}{y^{\,2}}\)

және

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)