Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}-2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известен один квадрат и удвоенное произведение

\(\displaystyle (4x\,)^2=a^{\,2},\)

\(\displaystyle 8xy=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат

\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(4x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle a=4x\) или \(\displaystyle a=-4x.\)

Если \(\displaystyle a=4x,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle a\) в равенство \(\displaystyle 8xy=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 8xy=2\cdot 4x\cdot b,\)

\(\displaystyle 8xy=8xb,\)

\(\displaystyle b=\frac{8xy}{8x},\)

\(\displaystyle b=y.\)

Поэтому недостающий квадрат равен

\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(4x\,)^2-8xy+\color{red}{y^{\,2}}\)

и

\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)