Нам известно, что выражение

\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=\color{red}{a^{\,2}}-2ab+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 25t^{\,2}=5^2t^{\,2}=(5t\,)^2,\) и поэтому нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle (5t\,)^2=b^{\,2},\)

\(\displaystyle 40st=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат

\(\displaystyle \color{red}{?}=a^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Из того, что \(\displaystyle b^{\,2}=(5t\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle b=5t\) или \(\displaystyle b=-5t.\)

Если \(\displaystyle b=5t,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle b\) в равенство \(\displaystyle 40st=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 40st=2\cdot a \cdot 5t,\)

\(\displaystyle 40st=10at,\)

\(\displaystyle a=\frac{40st}{10t},\)

\(\displaystyle a=4s.\)

Поэтому недостающий квадрат равен

\(\displaystyle \color{red}{?}=(4s\,)^2.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \color{red}{?}-40st+25t^{\,2}=\color{red}{(4s\,)^2}-40st+25t^{\,2}\)

и

\(\displaystyle ({\bf 4s}\,)^2-40st+25t^{\,2}=({\bf 4s-5t}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 4s}\,)^2-40st+25t^{\,2}=({\bf 4s-5t}\,)^2.\)