Ортақ көбейткішті тауып, айырманың толық квадратын шығарыңыз:
\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz\) өрнегінің осындай ортақ көбейткішін жақшадағы өрнек мүшелерінің ортақ көбейткіштері болмайтындай етіп, шығарайық.
Мұндай көбейткіш коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және ең кіші дәрежелердегі ортақ параметрлердің көбейтіндісіне тең.
1. \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық.
1.1. \(\displaystyle 63,\, 210\) және \(\displaystyle 175\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін есептейік. Оны көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритмі арқылы есептей отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle ЕҮОБ(63,\,210,\, 175)=7.\)
1.2. Ең төменгі дәрежелік көрсеткіштері бар ортақ параметрлер көбейтіндісін табамыз.
Ол үшін \(\displaystyle 63abyz^{\, 3},\, 210ab^{\,2}yz^{\,2}, \, 175ab^{\, 3}yz\) мүшелерін қарастырып, осы мүшелердің әрқайсысында параметрлердің болуының кестесін жасайық.
| \(\displaystyle 63abyz^{\, 3}\) | \(\displaystyle 210ab^{\,2}yz^{\,2}\) | \(\displaystyle 175ab^{\, 3}yz\) | ||
| \(\displaystyle a\) | бар \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | бар \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | бар \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | ортақ параметр |
| \(\displaystyle b\) | бар \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) | бар \(\displaystyle b^{\, 2}\) | бар \(\displaystyle b^{\, 3}\) | ортақ параметр |
| \(\displaystyle y\) | бар \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | бар \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | бар \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | ортақ параметр |
| \(\displaystyle z\) | бар \(\displaystyle z^{\, 3}\) | бар \(\displaystyle z^{\, 2}\) | бар \(\displaystyle z=z^{\, 1}\) | ортақ параметр |
Демек, \(\displaystyle a,\,b,\,y\) және \(\displaystyle z\) параметрлері – бұл ортақ параметрлер.
Бұл ретте:- \(\displaystyle a\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 1\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle a^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=a^{\,1};\)
- \(\displaystyle b\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 2\) және \(\displaystyle 3\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle b^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=b^{\,1};\)
- \(\displaystyle y\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 1\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle y^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=y^{\,1};\)
- \(\displaystyle z\) параметрі \(\displaystyle 3,\, 2\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle z^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=z^{\,1};\)
Сондықтан ең кіші дәрежелік көрсеткіштері бар ортақ параметрлердің көбейтіндісі келесіге тең
\(\displaystyle a^{\,1}b^{\,1}y^{\,1}z^{\,1}=abyz.\)
Демек, \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz\) өрнегінің ізделіп отырған ортақ көбейткіші \(\displaystyle 7abyz\) тең.
2. Енді бастапқы өрнекте \(\displaystyle 7abyz\) көбейткішін жақшаның сыртына шығару керек. Өрнектің квадратын алу қажет болғандықтан, оны минус таңбасымен шығарамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{-2em} -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz= \\[10px]\kern{5em} =-7abyz\cdot\left( -\frac{63abyz^{\, 3}}{-7abyz}+\frac{210ab^{\,2}yz^{\,2}}{-7abyz}-\frac{175ab^{\, 3}yz}{-7abyz}\right)=\\[10px]\kern{18em} =-7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right).\end{array}\)
3. Айырма квадратының формуласын қолдана отырып, жақшадағы өрнекті ықшамдайық:
\(\displaystyle -7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right)=-7abyz\,(3z-5b\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz={\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)
Жауабы: \(\displaystyle {\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)