Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Вынесение общего множителя и квадрат разности

Задание

Вынесите общий множитель за скобки так, чтобы выполнялось равенство:
 

\(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}=\)\(\displaystyle \left(s-t\, \right)^2\)

Решение

Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2},\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.

Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
 

1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}.\)

1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 17,\, 34\) и \(\displaystyle 17.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем

\(\displaystyle НОД(17,\,34,\, 17)=17.\)

1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.

Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 17s^{\, 3},\, 34s^{\,2}t, \, 17st^{\, 2}\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.

 \(\displaystyle 17s^{\, 3}\)\(\displaystyle 34s^{\,2}t\)\(\displaystyle 17st^{\, 2}\) 
\(\displaystyle s\)есть \(\displaystyle s^{\, 3}\)есть \(\displaystyle s^{\, 2}\)есть \(\displaystyle s=s^{\, 1}\)общий параметр
\(\displaystyle t\)нет параметраесть \(\displaystyle t=t^{\, 1}\)есть \(\displaystyle t^{\, 2}\)не является общим параметром

Следовательно, только \(\displaystyle s\) является общим параметром.

При этом:

параметр \(\displaystyle s\) встречается в \(\displaystyle 3,\, 2\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle s^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=s^{\,1}.\)

Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно \(\displaystyle s^{\,1}=s.\)

Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}\) равен \(\displaystyle 17s.\)


2. Теперь нужно вынести в исходном выражении вынести множитель \(\displaystyle 17s\) за скобки. Поскольку требуется получить квадрат выражения, то вынесем его со знаком минус:

\(\displaystyle \begin{aligned}-17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}&=-17s\cdot\left( -\frac{17s^{\, 3}}{-17s}+\frac{34s^{\,2}t}{-17s}-\frac{17st^{\, 2}}{-17s}\right)=\\[10px]&=-17s \left( s^{\, 2}-2st+t^{\, 2}\right).\end{aligned}\)


3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата разности:

\(\displaystyle -17s \left( s^{\, 2}-2st+t^{\, 2}\right)=-17s\,(s-t\,)^2.\)
 

Таким образом,

\(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}={\bf -17}\pmb{s}\,(\pmb{s}-\pmb{t}\,)^{\bf 2}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf -17}\pmb{s}\,(\pmb{s}-\pmb{t}\,)^{\bf 2}.\)