Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Вынесение общего множителя и квадрат разности

Задание

Найдите общий множитель и выделите полный квадрат разности:
 

\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz,\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.

Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
 

1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz.\)

1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 63,\, 210\) и \(\displaystyle 175.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем

\(\displaystyle НОД(63,\,210,\, 175)=7.\)

1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.

Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 63abyz^{\, 3},\, 210ab^{\,2}yz^{\,2}, \, 175ab^{\, 3}yz\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.

  \(\displaystyle 63abyz^{\, 3}\) \(\displaystyle 210ab^{\,2}yz^{\,2}\) \(\displaystyle 175ab^{\, 3}yz\)  
\(\displaystyle a\) есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) общий параметр
\(\displaystyle b\) есть \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) есть \(\displaystyle b^{\, 2}\) есть \(\displaystyle b^{\, 3}\) общий параметр
\(\displaystyle y\) есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) общий параметр
\(\displaystyle z\) есть \(\displaystyle z^{\, 3}\) есть \(\displaystyle z^{\, 2}\) есть \(\displaystyle z=z^{\, 1}\) общий параметр

Следовательно, параметры \(\displaystyle a,\,b,\,y\) и \(\displaystyle z\) –  это общие параметры.

При этом:
  • параметр \(\displaystyle a\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle a^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=a^{\,1};\)
  • параметр \(\displaystyle b\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 2\) и \(\displaystyle 3\) степенях, откуда \(\displaystyle b^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=b^{\,1};\)
  • параметр \(\displaystyle y\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle y^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=y^{\,1};\)
  • параметр \(\displaystyle z\) встречается в \(\displaystyle 3,\, 2\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle z^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=z^{\,1}.\)

Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно

\(\displaystyle a^{\,1}b^{\,1}y^{\,1}z^{\,1}=abyz.\)

Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz\) равен \(\displaystyle 7abyz.\)


2. Теперь нужно вынести в исходном выражении вынести множитель \(\displaystyle 7abyz\) за скобки. Поскольку требуется получить квадрат выражения, то вынесем его со знаком минус:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \kern{-2em} -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz= \\[10px] \kern{5em} =-7abyz\cdot\left( -\frac{63abyz^{\, 3}}{-7abyz}+\frac{210ab^{\,2}yz^{\,2}}{-7abyz}-\frac{175ab^{\, 3}yz}{-7abyz}\right)=\\[10px] \kern{18em} =-7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right). \end{array}\)


3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата суммы:

\(\displaystyle -7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right)=-7abyz\,(3z-5b\,)^2.\)
 

Таким образом,

\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz={\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)