Жақшаларды ашыңыз және жақшадағы мүшелердің ортақ көбейткіші болмайтындай етіп плюс таңбасы бар ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарыңыз:
Алдымен \(\displaystyle -6x^{\,4}\) өрнегінің әрбір мүшесін \(\displaystyle 5x^{\,4}-15x\) көбейту арқылы жақшаларды ашамыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{red}{-6x^{\,4}} \cdot (5x^{\,4}-15x\,)+45x^{\,3}&=\color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 5x^{\,4}-\color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 15x+45x^{\,3}=\\[10px]&=\Big((\color{red}{-6})\cdot 5\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x^{\,4}- \Big((\color{red}{-6})\cdot 15\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x+45x^{\,3}= \\[10px]&=-30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}.\end{aligned}\)
Енді жақшаның сыртына шығару қажет ортақ көбейткішті табамыз.
\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) өрнегі \(\displaystyle -\color{blue}{30}\color{green}{x^{\,8}}, \, \color{blue}{90}\color{green}{x^{\,5}}\) және \(\displaystyle \color{blue}{45}\color{green}{x^{\,3}}\) үш бірмүшесінен тұрады.
Бұл өрнектер үшін бізге жақшаның сыртына шығарылған кезде жақшада қалған бірмүшелердің ортақ көбейткіштері болмайтындай ортақ көбейткішті табу керек.
\(\displaystyle -30x^{\,8},\) \(\displaystyle 90x^{\,5}\) және \(\displaystyle 45x^{\,3}\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгішін ең кіші дәрежедегі айнымалыға сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің көбейтіндісі түрінде есептейік.
- \(\displaystyle \color{blue}{30},\, \color{blue}{90}\) және \(\displaystyle \color{blue}{45}\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.
Ең үлкен ортақ бөлгіштерді жүйелі түрде табу үшін көбейткіштерге жіктеуді немесе Евклид алгоритмін қолданайық.
Алдымен алғашқы екі коэффициенттің ең үлкен бөлгішін табамыз: \(\displaystyle ЕҮОБ(\color{blue}{30},\color{blue}{90})=30.\) Содан кейін алынған сан мен үшінші коэффициенттің ең үлкен ортақ бөлгішін табамыз: \(\displaystyle ЕҮОБ(30,\color{blue}{45})=15.\) Осылайша, сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle {\bf 15}\)-ке тең. - Қарастырылып отырған бірмүшелер \(\displaystyle x\) айнымалысының бірмүшелері болғандықтан, ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) табайық:
\(\displaystyle -30x^{\bf \,\color{blue}{8}}\) бірінші бірмүшесінде \(\displaystyle x\) айнымалысы \(\displaystyle 8\) дәрежеге ие.
\(\displaystyle 90x^{\bf \,\color{blue}{5}}\) екінші бірмүшесінде \(\displaystyle x\) айнымалысы \(\displaystyle 5\) дәрежеге ие.
\(\displaystyle 45x^{\bf \,\color{blue}{3}}\) үшінші бірмүшесінде \(\displaystyle x\) айнымалысы \(\displaystyle 3\) дәрежеге ие.
Демек, ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) – бұл \(\displaystyle x^{\bf \,3}.\)
Сондықтан, \(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) өрнегінде жақшадан \(\displaystyle 15x^{\,3}\) ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\left(-\frac{30x^{\,8}}{15x^{\,3}}+\frac{90x^{\,5}}{15x^{\,3}}+\frac{45x^{\,3}}{15x^{\,3}}\right)\)
және, демек,
\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)
Жауабы: \(\displaystyle 15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)