Берілген топтау кезінде ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығарып, содан кейін өрнекті көбейткіштерге жіктеңіз:
Ортақ көбейткішті \(\displaystyle (56-63z^{\,5})\) және \(\displaystyle (24z^{\,6}-27z^{\,11})\) әр жақшасынан шығарайық.
\(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) өрнегі \(\displaystyle \color{blue}{56}\) және \(\displaystyle -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}}\) бірмүшелерінен, ал \(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) өрнегі \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}\) және \(\displaystyle -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}}\) бірмүшелерінен тұратындығын ескерейік.
Осы өрнектерде ортақ көбейткіштерді табайық (толығырақ төмендегі ескертпені қараңыз):
| Бірмүшелер | \(\displaystyle \color{blue}{56}=\color{blue}{56}\color{green}{z^{\,0}}, \quad -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}}\) | \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}, \quad -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}}\) |
| Сандық коэффициенттердің ЕҮОБ | \(\displaystyle ЕҮОБ(\color{blue}{56},\color{blue}{63})=7\) | \(\displaystyle ЕҮОБ(\color{blue}{24},\color{blue}{27})=3\) |
| Ең кіші дәрежедегі айнымалы | \(\displaystyle \color{green}{z^{\bf \,0}}=1\) | \(\displaystyle \color{green}{z^{\bf \,6}}\) |
| Ортақ көбейткіш | \(\displaystyle 7z^{\,0}=7\) | \(\displaystyle 3z^{\,6}\) |
\(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) өрнегінде \(\displaystyle 7z^{\,0}\) ортақ көбейткішін, яғни \(\displaystyle 7\) жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 56-63z^{\,5}=\color{red}{7}\, \left(\frac{56}{\color{red}{7}}-\frac{63z^{\,5}}{\color{red}{7}}\right)=\color{red}{7}\, (8-9z^{\,5}).\)
\(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) өрнегінде \(\displaystyle 3z^{\,6}\) ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}=\color{red}{3z^{\,6}}\, \left(\frac{24z^{\,6}}{\color{red}{3z^{\,6}}}-\frac{27z^{\,11}}{\color{red}{3z^{\,6}}}\right)=\color{red}{3z^{\,6}}\, (8-9z^{\,5}).\)
Бізде
\(\displaystyle (56-63z^{\,5})+(24z^{\,6}-27z^{\,11})=7\,(8-9z^{\,5})+3z^{\,6}\,(8-9z^{\,5}).\)
Әрі қарай, \(\displaystyle 7\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}\) және \(\displaystyle 3z^{\,6}\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}\) екі өрнегі де \(\displaystyle \color{blue}{(8-9z^{\,5})}\) ортақ көбейткішіне ие екенін ескерейік. Бұл көбейткішті жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 7\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}+3z^{\,6}\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}=\color{blue}{(8-9z^{\,5})} (7+3z^{\,6}).\)
Осылайша,
\(\displaystyle (56-63z^{\,5})+(24z^{\,6}-27z^{\,11})={\bf 7}\,({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}})+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}})=({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}) ({\bf 7}+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}).\)
Жауабы: \(\displaystyle 7\,(8-9z^{\,5})+3z^{\,6}\,(8-9z^{\,5})=(8-9z^{\,5}) (7+3z^{\,6}).\)
1. \(\displaystyle \color{blue}{56}\) және \(\displaystyle -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}}\) екі бірмүшелерінің ортақ бөлгішін табуды толығырақ сипаттайық, атап айтқанда, сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және кіші дәрежедегі айнымалының көбейтіндісі.
- Көбейткіштерге жіктеуді немесе Евклид алгоритмін қолдана отырып, сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табамыз: \(\displaystyle ЕҮОБ(\color{blue}{56},\color{blue}{63})=7.\)
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) табайық, себебі қарастырылып отырған бірмүшелер \(\displaystyle z\) айнымалысы бар бірмүшелер болып табылады:
- \(\displaystyle 56=56z^{\bf \,\color{blue}{0}}\) бірінші бірмүшесінде \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle 0\) дәрежеге ие;
- \(\displaystyle -63z^{\bf \,\color{blue}{5}}\) екінші бірмүшесінде \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle 5\) дәрежеге ие.
Демек, ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) – бұл \(\displaystyle z^{\bf \,0}=1.\)
Яғни, \(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) өрнегінде \(\displaystyle 7z^{\,0}\) ортақ көбейткішін, яғни \(\displaystyle 7\) жақшаның сыртына шығаруға болады.
2. \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}\) және \(\displaystyle -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}}\) екі бірмүшелерінің ортақ бөлгішін табуды толығырақ сипаттайық, атап айтқанда, сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және кіші дәрежедегі айнымалының көбейтіндісі.
- Көбейткіштерге жіктеуді немесе Евклид алгоритмін қолдана отырып, сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табамыз: \(\displaystyle ЕҮОБ(\color{blue}{24},\color{blue}{27})=3.\)
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) табайық, себебі қарастырылып отырған бірмүшелер \(\displaystyle z\) айнымалысы бар бірмүшелер болып табылады:
- \(\displaystyle 24z^{\bf \,\color{blue}{6}}\) бірінші бірмүшесінде \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle 6\) дәрежеге ие;
- \(\displaystyle -27z^{\bf \,\color{blue}{11}}\) екінші бірмүшесінде \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle 11\) дәрежеге ие.
Демек, ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) – бұл \(\displaystyle z^{\bf \,6}.\)
Яғни, \(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) өрнегінде \(\displaystyle 3z^{\,6}\) ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығаруға болады.