В задаче дано, что выражение

\(\displaystyle (8y^{\,8}-12y^{\,5})+(-18y^{\,3}+27)={\bf 4}{\pmb y}^{\,\bf 5}\cdot (\,?\,)-{\bf 9} \cdot(\,?\,)\)

можно представить в виде суммы двух выражений, у первого из которых вынесен множитель \(\displaystyle 4y^{\,5},\) а у второго – множитель \(\displaystyle -9.\)

Определим выражения, получаемые в скобках \(\displaystyle (8y^{\,8}-12y^{\,5})\) и \(\displaystyle (-18y^{\,3}+27)\) после вынесения множителей \(\displaystyle 4y^{\,5} \) и \(\displaystyle 9 \) соответственно.

При вынесении в выражении \(\displaystyle 8y^{\,8}-12y^{\,5}\) множителя \(\displaystyle 4y^{\,5} \) за скобки нам необходимо поделить каждый член этого выражения на \(\displaystyle 4y^{\,5}: \)

\(\displaystyle 8y^{\,8}-12y^{\,5}=\color{red}{4y^{\,5}}\,\left(\frac{8y^{\,8}}{\color{red}{4y^{\,5}}}-\frac{12y^{\,5}}{\color{red}{4y^{\,5}}}\right)=4y^{\,5}\, \color{blue}{(2y^{\,3}-3)}.\)

При вынесении в выражении \(\displaystyle -18y^{\,3}+27\) множителя \(\displaystyle -9\) за скобки нам необходимо поделить каждый член этого выражения на \(\displaystyle -9: \)

\(\displaystyle -18y^{\,3}+27=\color{red}{-9}\,\left(-\frac{18y^{\,3}}{\color{red}{-9}}+\frac{27}{\color{red}{-9}}\right)=-9\, \color{blue}{(2y^{\,3}-3)}.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (8y^{\,8}-12y^{\,5})+(-18y^{\,3}+27)=4y^{\,5}\,\color{blue}{(2y^{\,3}-3)}-9\,\color{blue}{(2y^{\,3}-3)}.\)

Далее заметим, что оба выражения \(\displaystyle 4y^{\,5}\,(2y^{\,3}-3\,)\) и \(\displaystyle 9\,(2y^{\,3}-3\,)\) имеют общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{(2y^{\,3}-3\,)}.\) Вынесем этот множитель за скобки:

\(\displaystyle 4y^{\,5}\,\color{blue}{(2y^{\,3}-3)}-9\,\color{blue}{(2y^{\,3}-3)}=\color{blue}{(2y^{\,3}-3\,)} (4y^{\,5}-9).\)

Таким образом,

\(\displaystyle 8y^{\,8}-12y^{\,5}-18y^{\,3}+27=4y^{\,5}\, ({\bf 2}{\pmb y}{\bf^{\,3}-3})-9\,({\bf 2}{\pmb y}{\bf^{\, 3}-3})=({\bf 2}{\pmb y}{\bf^{\,3}-3}) ({\bf 4}{\pmb y}{\bf ^{\,5}-9}).\)

Ответ: \(\displaystyle 4y^{\,5}\, (2y^{\,3}-3)-9\,(2y^{\,3}-3)=(2y^{\,3}-3\,) (4y^{\,5}-9).\)