Сначала найдем общий множитель одночленов в исходном выражении.

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов с помощью разложения на простые множители:

• \(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7{\small ,}\)
• \(\displaystyle 70=2\cdot 5 \cdot 7{\small ,}\)
• \(\displaystyle 6=2\cdot 3{\small ,}\)
• \(\displaystyle 10=2\cdot 5{\small .}\)

Из разложения получаем, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 2{\small .}\)

2. Переменная \(\displaystyle z\) в наименьшей степени (выбирая из \(\displaystyle z^{\,5}, \, z^{\, 3},\, z^{\, 4} \) и \(\displaystyle z^{\,2}\)) – это \(\displaystyle z^{\,2}{\small .}\)

Таким образом, общий множитель равен \(\displaystyle 2z^{\,2}{\small .}\)

Вынесем \(\displaystyle 2z^{\,2}\) за скобки:

\(\displaystyle 42z^{\,5}+70z^{\,3}+6z^{\,4}+10z^{\,2}=2z^{\,2}(21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5){\small .}\)

Далее разложим многочлен \(\displaystyle 21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5\) на множители методом группировки.

Запишем данный многочлен в стандартном виде:

\(\displaystyle 21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5=21z^{\,3}+3z^{\,2}+35z+5{\small .}\)

В нашем случае одночлен, содержащий старшую степень переменной, – это \(\displaystyle 21z^{\,3}\) (третья степень), а одночлен, содержащий младшую степень переменной, – это \(\displaystyle 5\) (нулевая степень). Следовательно, одночлены \(\displaystyle 21z^{\,3}\) и \(\displaystyle 5\) должны быть в разных скобках. Поэтому существует два варианта группировки:

1) \(\displaystyle \color{red}{21z^{\,3}}+\color{red}{3z^{\,2}}+\color{blue}{35z}+\color{blue}{5}=(\color{red}{21z^{\,3}+3z^{\,2}})+(\color{blue}{35z+5}){\small ,}\)

2) \(\displaystyle \color{red}{21z^{\,3}}+\color{blue}{3z^{\,2}}+\color{red}{35z}+\color{blue}{5}=(\color{red}{21z^{\,3}+35x})+(\color{blue}{3z^{\,2}+5}){\small .}\)

Любой из этих вариантов приведет к разложению на множители, однако мы рассмотрим только первый вариант группировки:

\(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2})+(35z+5){\small .}\)

Найдем наибольший общий множитель одночленов, стоящих в первой скобке \(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2}){\small .}\)

1. Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(21,3)=3{\small .}\)
2. Переменной \(\displaystyle z\) в наименьшей степени является \(\displaystyle z^{\,2}\) (выбираем из \(\displaystyle z^{\,3}\) и \(\displaystyle z^{\,2}\)).

Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle 21z^{\,3}\) и\(\displaystyle 3z^{\,2}\) равен \(\displaystyle 3z^{\, 2}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 21z^{\,3}+3z^{\,2}=3z^{\,2}\,(7z+1){\small .}\)

Далее найдем общий множитель одночленов, стоящих во второй скобке \(\displaystyle (35z+5){\small .}\)

1. Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(35,5)=5{\small .}\)
2. Переменной \(\displaystyle z\) в наименьшей степени является \(\displaystyle z^{\,0}=1\) (выбираем из \(\displaystyle z^{\,1}=z\) и \(\displaystyle z^{\,0}=1\)).

Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle 35z\) и \(\displaystyle 5\) равен \(\displaystyle 5{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 35z+5=5\,(7z+1){\small .}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2})+(35z+5)=3z^{\,2}\,(7z+1)+5\,(7z+1){\small .}\)

Заметим, что оба выражения \(\displaystyle 3z^{\,2}\,\color{blue}{(7z+1)}\) и \(\displaystyle 5\,\color{blue}{(7z+1)}\) имеют один и тот же множитель \(\displaystyle \color{blue}{(7z+1)}{\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 3z^{\,2}\,\color{blue}{(7z+1)}+5\,\color{blue}{(7z+1)}=\color{blue}{(7z+1)} (3z^{\,2}+5){\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 21z^{\,3}+3z^{\,2}+35z+5=(7z+1) (3z^{\,2}+5)\)

и

\(\displaystyle 42z^{\,5}+70z^{\,3}+6z^{\,4}+10z^{\,2}=2z^{\,2}(21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5)={\bf 2}{\pmb z}^{\,{\bf 2}}({\bf 7}{\pmb z}+{\bf 1}) ({\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 2}}+{\bf 5}){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 2z^{\,2}(7z+1) (3z^{\,2}+5){\small .}\)