При заданной группировке вынесите общие множители за скобки и затем разложите выражение на множители:
Вынесем общий множитель из каждой скобки \(\displaystyle (56-63z^{\,5})\) и \(\displaystyle (24z^{\,6}-27z^{\,11}).\)
Отметим, что выражение \(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) состоит из одночленов \(\displaystyle \color{blue}{56}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}},\) а выражение \(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) – из одночленов \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}}.\)
Найдем в этих выражениях общие множители (более подробно см. примечание ниже):
| Одночлены | \(\displaystyle \color{blue}{56}=\color{blue}{56}\color{green}{z^{\,0}}, \quad -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}}\) | \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}, \quad -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}}\) |
| НОД числовых коэффициентов | \(\displaystyle НОД(\color{blue}{56},\color{blue}{63})=7\) | \(\displaystyle НОД(\color{blue}{24},\color{blue}{27})=3\) |
| Переменная в наименьшей степени | \(\displaystyle \color{green}{z^{\bf \,0}}=1\) | \(\displaystyle \color{green}{z^{\bf \,6}}\) |
| Общий множитель | \(\displaystyle 7z^{\,0}=7\) | \(\displaystyle 3z^{\,6}\) |
Вынесем в выражении \(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) за скобки общий множитель \(\displaystyle 7z^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 7:\)
\(\displaystyle 56-63z^{\,5}=\color{red}{7}\, \left(\frac{56}{\color{red}{7}}-\frac{63z^{\,5}}{\color{red}{7}}\right)=\color{red}{7}\, (8-9z^{\,5}).\)
Вынесем в выражении \(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) за скобки общий множитель \(\displaystyle 3z^{\,6}:\)
\(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}=\color{red}{3z^{\,6}}\, \left(\frac{24z^{\,6}}{\color{red}{3z^{\,6}}}-\frac{27z^{\,11}}{\color{red}{3z^{\,6}}}\right)=\color{red}{3z^{\,6}}\, (8-9z^{\,5}).\)
Имеем
\(\displaystyle (56-63z^{\,5})+(24z^{\,6}-27z^{\,11})=7\,(8-9z^{\,5})+3z^{\,6}\,(8-9z^{\,5}).\)
Далее заметим, что оба выражения \(\displaystyle 7\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}\) и \(\displaystyle 3z^{\,6}\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}\) имеют общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{(8-9z^{\,5})}.\) Вынесем этот множитель за скобки:
\(\displaystyle 7\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}+3z^{\,6}\,\color{blue}{(8-9z^{\,5})}=\color{blue}{(8-9z^{\,5})} (7+3z^{\,6}).\)
Таким образом,
\(\displaystyle (56-63z^{\,5})+(24z^{\,6}-27z^{\,11})={\bf 7}\,({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}})+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}})=({\bf 8}-{\bf 9}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}) ({\bf 7}+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}).\)
Ответ: \(\displaystyle 7\,(8-9z^{\,5})+3z^{\,6}\,(8-9z^{\,5})=(8-9z^{\,5}) (7+3z^{\,6}).\)
1. Опишем более подробно нахождение общего делителя двух одночленов \(\displaystyle \color{blue}{56}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{63}\color{green}{z^{\,5}},\) а именно, произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и переменной в наименьшей степени.
- Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{56},\color{blue}{63})=7.\)
- Найдем \(\displaystyle z\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle z\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 56=56z^{\bf \,\color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle z\) имеет степень \(\displaystyle 0;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle -63z^{\bf \,\color{blue}{5}}\) переменная \(\displaystyle z\) имеет степень \(\displaystyle 5.\)
Следовательно, \(\displaystyle z\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle z^{\bf \,0}=1.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 56-63z^{\,5}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 7z^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 7.\)
2. Опишем более подробно нахождение общего делителя двух одночленов \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{z^{\,6}}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{27}\color{green}{z^{\,11}},\) а именно, произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и переменной в наименьшей степени.
- Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{24},\color{blue}{27})=3.\)
- Найдем \(\displaystyle z\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle z\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 24z^{\bf \,\color{blue}{6}}\) переменная \(\displaystyle z\) имеет степень \(\displaystyle 6;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle -27z^{\bf \,\color{blue}{11}}\) переменная \(\displaystyle z\) имеет степень \(\displaystyle 11.\)
Следовательно, \(\displaystyle z\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle z^{\bf \,6}.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 24z^{\,6}-27z^{\,11}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 3z^{\,6}.\)