Минус таңбасы бар ортақ көбейткішті шығарып, көбейткіштерге жіктеңіз:
Алдымен бастапқы өрнектегі бірмүшелердің ортақ көбейткішін табамыз.
1. Жай көбейткіштерге жіктеу арқылы сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:
- \(\displaystyle 63=3^2\cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 42=2\cdot 3 \cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2{\small ,}\)
- \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3{\small .}\)
Жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 3{\small }\) тең екендігін аламыз.
2. Ең кіші дәрежелі \(\displaystyle d\) айнымалысын шығарайық (\(\displaystyle d^{\,5}, \, d^{\, 9},\, d^{\, 8}\) және \(\displaystyle d^{\,12}\) таңдай отырып), яғни \(\displaystyle d^{\,5}{\small .}\)
Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 3d^{\,5}{\small }\) тең.
\(\displaystyle 3d^{\,5}\) есептің шарты талап ететіндей минус таңбасымен жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle -63d^{\,5}+42d^{\,9}-36d^{\,8}+24d^{\,12}=-3d^{\,5}(21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}){\small .}\)
Әрі қарай, \(\displaystyle 21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}\) көпмүшесін топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктейік.
Аталған көпмүшені стандарт түрде жазайық:
\(\displaystyle 21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}=-8d^{\,7}-14d^{\,4}+12d^{\,3}+21{\small .}\)
Топтастыру әдісінде ең жоғары дәрежелі бірмүшені ең төменгі дәрежелі бірмүшемен топтастыруға болмайды (ең төменгі дәреже нөлге тең болуы мүмкін).
Біздің жағдайда жоғары дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle -8d^{\,7}\) (жетінші дәреже), ал төменгі дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle 21\) (нөлдік дәреже). Демек, \(\displaystyle -8d^{\,7}\) және \(\displaystyle 21\) бірмүшелері әр түрлі жақшаларда болуы керек. Сондықтан топтастырудың екі нұсқасы бар:
1) \(\displaystyle -\color{red}{8d^{\,7}}-\color{red}{14d^{\,4}}+\color{blue}{12d^{\,3}}+\color{blue}{21}=(\color{red}{-8d^{\,7}-14d^{\,4}})+(\color{blue}{12d^{\,3}+21}){\small ,}\)
2) \(\displaystyle -\color{red}{8d^{\,7}}-\color{blue}{14d^{\,4}}+\color{red}{12d^{\,3}}+\color{blue}{21}=(\color{red}{-8d^{\,7}+12d^{\,3}})+(\color{blue}{-14d^{\,4}+21}){\small .}\)
Осы нұсқалардың кез-келгені көбейткіштерге жіктеуге әкеледі, алайда біз тек топтастырудың бірінші нұсқасын қарастырамыз:
\(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4})+(12d^{\,3}+21){\small .}\)
\(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4}){\small }\) бірінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(8,14)=2{\small }\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle d\) айнымалысы \(\displaystyle d^{\,4}\) болып табылады (\(\displaystyle d^{\,7}\) және \(\displaystyle d^{\,4}\) арасынан таңдаймыз).
Демек, \(\displaystyle -8d^{\,7}\) және \(\displaystyle -14d^{\,4}\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 2d^{\, 4}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle -8d^{\,7}-14d^{\,4}=2d^{\, 4}\,(-4d^{\,3}-7){\small .}\)
Әрі қарай \(\displaystyle (12d^{\,3}+21){\small }\) екінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(12,21)=3{\small .}\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle d\) айнымалысы \(\displaystyle d^{\,0}=1\) болып табылады (\(\displaystyle d^{\,3}\) және \(\displaystyle d^{\,0}=1\) арасынан таңдаймыз).
Демек, \(\displaystyle 12d^{\,3}\) және \(\displaystyle 21\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 3{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 12d^{\,3}+21=3\,(4d^{\,3}+7){\small .}\)
Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4})+(12d^{\,3}+21)=2d^{\, 4}\,(-4d^{\,3}-7)+3\,(4d^{\,3}+7){\small .}\)
\(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)\) ижәне \(\displaystyle (4d^{\,3}+7)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни
\(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)=-(4d^{\,3}+7){\small .}\)
Сондықтан \(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)\) көбейткішін \(\displaystyle -(4d^{\,3}+7)\) алмастырайық:
\(\displaystyle \begin{array}{l}2d^{\,4}\,\color{red}{(-4d^{\,3}-7)}+3\,(4d^{\,3}+7)= \\[10px]\kern{5em} =2d^{\,4}\,\color{red}{\Big(-(4d^{\,3}+7)\Big)}+3\,(4d^{\,3}+7)= \\[10px]\kern{10em} =-2d^{\, 4}\,(4d^{\,3}+7)+3\,(4d^{\,3}+7).\end{array}\)
Енді \(\displaystyle -2d^{\, 4}\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}\) және \(\displaystyle 3\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}\) екі өрнегі де бірдей \(\displaystyle \color{blue}{(4d^{\,3}+7)}{\small }\) көбейткішке ие. Демек, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle -2d^{\, 4}\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}+3\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}=\color{blue}{(4d^{\,3}+7)} (-2d^{\,4}+3){\small .}\)
Осылайша,
\(\displaystyle -8d^{\,7}-14d^{\,4}+12d^{\,3}+21=(4d^{\,3}+7)(-2d^{\,4}+3)\)
және
\(\displaystyle -63d^{\,5}+42d^{\,9}-36d^{\,8}+24d^{\,12}=-3d^{\,5}(21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7})=-{\bf 3}{\pmb d}^{\,{\bf 5}}({\bf 4}{\pmb d}^{\,{\bf 3}}+{\bf 7})(-{\bf 2}{\pmb d}^{\,{\bf 4}}+{\bf 3}){\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle -3d^{\,5}(4d^{\,3}+7)(-2d^{\,4}+3){\small .}\)