Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей в виде произведения простых чисел.
Это наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 2^3\cdot 5\) и \(\displaystyle 2^2\cdot 7{\small ,}\) то есть это наименьшее общее кратное этих чисел. Тогда
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 2^3\cdot 5\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 5{\small .}\)
Простые множители числа \(\displaystyle 2^2\cdot 7\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2{\small ,}\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 2{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 2^{3}{\small ,}\) во втором числе – \(\displaystyle 2^2{\small .}\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\)
Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}{3}}{\small .}\)
Рассмотрим степени \(\displaystyle 5{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 5^1{\small ,}\) во втором числе нет множителя \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 5^{\color{red}1}{\small .}\)
Рассмотрим степени \(\displaystyle 7{\small .}\) В первом числе нет множителя \(\displaystyle 7{\small ,}\) во втором числе это \(\displaystyle 7^{1}{\small .}\)
Следовательно, третий общий множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{green}1}{\small .}\)
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^{\color{blue}3}\cdot 5^{\color{red}{1}}\cdot 7^{\color{green}1}{\small .}\)
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен
\(\displaystyle 2^3\cdot 5\cdot 7{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3 \cdot 5\cdot 7{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{7}{2^3\cdot 5} \longrightarrow \frac{7\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{2^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{3\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7 }=\frac{7\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }- \frac{3\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}=\frac{7\cdot 7-3\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:
\(\displaystyle \frac{7\cdot 7-3\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }=\frac{49-30}{ 280}=\frac{ 19}{ 280 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{19}{280}{\small .}\)