Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{7}{18}-\frac{5}{27}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{7}{18}-\frac{5}{27}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 27\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 18{\small .}\) Тогда:
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 27{\small .}\) Тогда:
Получили разность дробей:
\(\displaystyle \frac{7}{18}-\frac{5}{27}=\frac{7}{2\cdot 3^2}-\frac{5}{3^3 }{\small .}\)
Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей в виде произведения простых чисел.
Это наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 2\cdot 3^2\) и \(\displaystyle 3^3{\small ,}\) то есть это наименьшее общее кратное этих чисел. Тогда
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 2\cdot 3^2\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3{\small .}\)
Простые множители числа \(\displaystyle 3^3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\)
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3{\small .}\)
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 2{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 2^{1}{\small ,}\) во втором числе нет множителя \(\displaystyle 2{\small .}\)
Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}1}{\small .}\)
Рассмотрим степени \(\displaystyle 3{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 3^{2}{\small ,}\) во втором числе – \(\displaystyle 3^{3}{\small .}\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\)
Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 3^{\color{red}{3}}{\small .}\)
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^{\color{blue}1}\cdot 3^{\color{red}{3}}{\small .}\)
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен
\(\displaystyle 2\cdot 3^3{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2\cdot 3^3{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{7}{18}=\frac{7}{2\cdot 3^2} \longrightarrow \frac{7\cdot \color{blue}{ 3}}{2\cdot \color{blue}{ 3}\cdot 3^2}{ \small ,}\end{aligned} \\[5px] \)
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{5}{27}=\frac{5}{ 3^3} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 3^3}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{7}{18}-\frac{5}{27}=\frac{7}{2\cdot 3^2}-\frac{5}{3^3}=\frac{7\cdot \color{blue}{ 3}}{2\cdot \color{blue}{ 3}\cdot 3^2}-\frac{5\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 3^3}=\frac{7\cdot 3-5\cdot 2}{ 2\cdot 3^3}{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:
\(\displaystyle \frac{7\cdot 3-5\cdot 2}{ 2\cdot 3^3}=\frac{21-10}{ 54}=\frac{11}{ 54 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{11}{54}{\small .}\)