В выражении \(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4\) на простые множители.

Разложим на простые множители число \(\displaystyle 12\cdot 6{\small .}\) Тогда:

Разложим на простые множители число \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\) Тогда:

Получили разность дробей:

\(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2}-\frac{1}{2^2\cdot 3^3 }{\small .}\)

Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 3^3 \) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}\) и \(\displaystyle \frac{1}{27\cdot 4}{\small .}\)

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 3^3{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{5}{12\cdot 6}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{blue}{3}}{2^3\cdot 3^2\cdot\color{blue}{3}}{ \small ,}\\[10px]\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{1}{ 2^2\cdot 3^3} \longrightarrow \frac{1\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 2^2\cdot 3^3}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2} -\frac{1}{ 2^2\cdot 3^3} = \\[10px]\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}= \frac{5\cdot \color{blue}{3}}{2^3\cdot 3^2\cdot\color{blue}{3}}-\frac{1\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 2^2\cdot 3^3}=\frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{ 2^3\cdot 3^3 }{\small .}\end{aligned}\)

Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:

\(\displaystyle \frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{ 2^3\cdot 3^3 }=\frac{15-2}{ 216}=\frac{13}{ 216 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{13}{216}{\small .}\)