Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Воспользуемся определением.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.
То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255{\small .}\)
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 136{\small .}\)
Воспользуемся признаком делимости на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Последовательно получаем:
Так как число \(\displaystyle 17\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 136\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle 136=2\cdot 68=2\cdot 2 \cdot 34 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 17=2^3\cdot 17{\small .}\)
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 255{\small .}\) Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 3\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Последовательно получаем:
Так как число \(\displaystyle 17\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 255\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle 255=3\cdot 85=3\cdot 5 \cdot 17{\small .}\)
Получили разность дробей:
\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97}{2^3\cdot 17}-\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17}{\small .}\)
Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 17\) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{97}{136}\) и \(\displaystyle \frac{47}{255}{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 17{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{97}{136}=\frac{97}{2^3\cdot 17} \longrightarrow \frac{97\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 17}{ \small ,}\\[10px]\frac{47}{255}=\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17} \longrightarrow \frac{47\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 5\cdot 17}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97}{2^3\cdot 17}-\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17}=\frac{97\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 17}-\frac{47\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 5\cdot 17}=\frac{97\cdot 3\cdot 5-47\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 }{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:
\(\displaystyle \frac{97\cdot 3\cdot 5-47\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 }=\frac{1455-376}{ 2040 }=\frac{ 1079}{ 2040 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1079}{2040}{\small .}\)