Найдите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:
| \(\displaystyle 0,(087)=\) |
|
Если \(\displaystyle a\),\(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) – цифры, то
\(\displaystyle 0,(abc)=\frac{abc}{999}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 0,(087)=\frac{087}{999}=\frac{87}{999}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{87}{999}.\)
Пусть \(\displaystyle x\) – обыкновенная дробь, равная периодической дроби \(\displaystyle 0,(087).\) Тогда
\(\displaystyle x=0,(087).\)
Умножим обе части уравнения на \(\displaystyle 1000\) для того чтобы получить дробь с тем же периодом и целой частью (то есть умножим на \(\displaystyle 10\dots0\) с таким количеством \(\displaystyle 0,\) сколько цифр в периоде):
\(\displaystyle 1000\cdot x=1000\cdot 0,(087);\)
\(\displaystyle 1000\cdot x=87,(087).\)
Вычтем из полученного уравнения наше исходное уравнение:
\(\displaystyle 1000\cdot x-x=87,(087)-0,(087);\)
\(\displaystyle 999\cdot x=87;\)
\(\displaystyle x=\frac{87}{999}.\)