| Квадратное уравнение | \(\displaystyle x^2+10x+25=0\) | \(\displaystyle x^2+3x-1=0\) | \(\displaystyle 2x^2-5x+10=0\) |
| Дискриминант | \(\displaystyle {\rm D}=\) | \(\displaystyle {\rm D}=\) | \(\displaystyle {\rm D}=\) |
| Число решений |
Вычислим по порядку в каждом из уравнений дискриминанты и определим по их значению число решений.
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle x^2+10x+25=\color{blue}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 10}x+\color{red}{ 25}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ 25}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 10}^2-4\cdot \color{blue}{ 1}\cdot \color{red}{ 25}=100-100=0{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small ,} \) то уравнение имеет одно решение (два совпадающих решения).
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle x^2+3x-1=\color{blue}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 3}x\color{red}{ -1}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 3}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -1}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 3}^2-4\cdot \color{blue}{ 1}\cdot (\color{red}{ -1})=9+4=13{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=13>0{ \small ,} \) то уравнение имеет два решения.
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle 2x^2-5x+10=\color{blue}{ 2}x^2\color{green}{ -5}x+\color{red}{ 10}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 2}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -5}, \color{red}{ c}=\color{red}{ 10}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -5})^2-4\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{red}{ 10}=25-80=-55{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=-55<0{ \small ,} \) то уравнение не имеет решений.