Найдите значение параметра \(\displaystyle c{ \small ,}\) при котором квадратное уравнение
\(\displaystyle 3x^2-4x+c=0\)
имеет единственное (два совпадающих) решения.
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle 3x^2-4x+c=\color{blue}{ 3}x^2\color{green}{ -4}x+\color{red}{ c}{\small . }\)
Значит, \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 3}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -4}{ \small ,}\) а в качестве третьего коэффициента \(\displaystyle \color{red}{ c}\) идет параметр \(\displaystyle c{\small .} \)
Воспользуемся правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Так как необходимо, чтобы уравнение имело одно решение, то это означает, что дискриминант \(\displaystyle {\rm D}\) должен быть равен нулю.
Поскольку по формуле
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle {\rm D}= \left(\color{green}{ -4}\right)^2-4\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{red}{ c}=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 16-12c=0{\small ; } \)
\(\displaystyle -12c=-16{\small ; } \)
\(\displaystyle c=\left(-16\right):\left(-12\right){\small ; } \)
\(\displaystyle c=\frac{ 16}{12}{\small ; } \)
\(\displaystyle c=\frac{ 4}{3} {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{ 4}{3} {\small .} \)