Сначала найдем стороны прямоугольника. 

Пусть \(\displaystyle AB=x\) – меньшая сторона прямоугольника, а \(\displaystyle AD=y\) – большая сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle P=2(AB+AD).\)  Известно, что \(\displaystyle P=34.\) 

Значит,

\(\displaystyle \color{green}{2(x+y)=34}.\)

Площадь треугольника равна \(\displaystyle S=AB\cdot AD.\)  Известно, что \(\displaystyle S=60.\) 

Значит,

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot y=60}.\)

Получаем систему уравнений 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{2(x+y)=34}{ \small ,}\\\color{blue}{x\cdot y=60} {\small .}\end{aligned}\right. \)

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через  \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle 2(x+y)=34 \, | :\color{red}{2},\)

\(\displaystyle x+y=17,\)

\(\displaystyle y=17-x.\)

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 

\(\displaystyle x\cdot (17-x)=60,\)

\(\displaystyle 17x-x^2=60,\)

\(\displaystyle 17x-x^2-60=0,\)

\(\displaystyle x^2-17x+60=0.\)

Решим квадратное уравнение.

Если \(\displaystyle x=5,\) то \(\displaystyle y=17-x=12.\)

Если \(\displaystyle x=12,\) то \(\displaystyle y=17-x=5.\)

Поскольку \(\displaystyle x\) – меньшая сторона прямоугольника, то \(\displaystyle x=5,\) \(\displaystyle y=12.\)

 Получили \(\displaystyle AB=5\) и \(\displaystyle AD=12.\) 

Для нахождения диагонали \(\displaystyle AC\) прямоугольника рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC \small{:}\)

Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)

По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)

Значит, 

\(\displaystyle AC^2=5^2 + 12^2=25+144=169.\)

Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=\sqrt {169} =13.\)

Ответ: \(\displaystyle 13{\small .}\)