Для произвольных чисел \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) и ненулевого числа \(\displaystyle c\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot b=a\) | \(\displaystyle \cdot \,\, b\) | \(\displaystyle \cdot \,\, c\) |
Так как в произведении
\(\displaystyle \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\)
\(\displaystyle a\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{red}6}\) раз,
\(\displaystyle b\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{blue}6}\) раз,
и под \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) подразумеваются произвольные действительные числа, то
\(\displaystyle \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}= a^{\:\bf \color{red} 6}\cdot b^{\:\bf \color{blue}6}.\)
В получившемся произведении присутствуют числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и нет третьего числа \(\displaystyle c.\) Это означает, что число \(\displaystyle c\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:
\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}=a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot b= a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)
Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle c\) в нулевой степени дается следующим образом.
В произведении
\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\)
присутствуют два числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и нет третьего числа \(\displaystyle c.\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени – это единица, и поэтому \(\displaystyle c^{\: 0}=1,\) то
\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}=a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot \color{red}{1}= a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot \color{red}{c}^{\: 0}.\)