Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b,\, c\) и \(\displaystyle x\) найдите показатели степеней выражения:
| \(\displaystyle (cb+x)^{9}\cdot (ax)^{2}\cdot (ab+8)^{16}\cdot (ax)^{8}\cdot (cb+x)^{10} \cdot (ab+8)^{7} =\) |
| \(\displaystyle =(ax)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(ab+8)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(cb+x)\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{aligned}(cb+x)^{9}\cdot (ax)^{2}\cdot (ab+8)^{16}\cdot &(ax)^{8}\cdot (cb+x)^{10} \cdot (ab+8)^{7}=\\[10px]={\color{blue}{(cb+x)}}^{9}\cdot &{\color{red}{(ax)}}^{2} \cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{16}\cdot {\color{red}{(ax)}}^{8}\cdot {\color{blue}{(cb+x)}}^{10}\cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{7}= \\[10px]&=({\color{red}{(ax)}}^{2}\cdot {\color{red}{(ax)}}^{8})\cdot ({\color{green}{(ab+8)}}^{16}\cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{7})\cdot ({\color{blue}{(cb+x)}}^{9}\cdot {\color{blue}{(cb+x)}}^{10}).\end{aligned}\end{aligned}\)
Затем воспользуемся правилом сложения степеней:
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{aligned}({\color{red}{(ax)}}^{2}\cdot {\color{red}{(ax)}}^{8})\cdot &({\color{green}{(ab+8)}}^{16}\cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{7})\cdot ({\color{blue}{(cb+x)}}^{9}\cdot {\color{blue}{(cb+x)}}^{10})= \\[10px]&={\color{red}{(ax)}}^{2+8}\cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{16+7}\cdot {\color{blue}{(cb+x)}}^{9+10}= {\color{red}{(ax)}}^{10}\cdot {\color{green}{(ab+8)}}^{23}\cdot {\color{blue}{(cb+x)}}^{19}.\end{aligned}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle (ax)^{10}\cdot (ab+8)^{23}\cdot (cb+x)^{19}.\)