Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b,\, с\) и \(\displaystyle x\) найдите показатели степеней выражения, если \(\displaystyle (b-12c)\,\cancel{=}\, 0\):
| \(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8} = \) |
| \(\displaystyle = (a+b)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(b-12c)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(xc)\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle \begin{array}{c}(xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= \\= \color{blue}{(xc)}^{2} \cdot \color{red}{(a+b)}^{3} \cdot \color{red}{(a+b)}^{2}\cdot \color{blue}{(xc)}\cdot \color{red}{(a+b)}^{16}\cdot \color{blue}{(xc)}^{8}= \\= ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot{\color{blue}{(xc)}}\cdot { \color{blue}{(xc)}}^{8}).\\\end{array}\)
Затем воспользуемся правилом сложения степеней:
\(\displaystyle ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot {\color{blue}{(xc)}}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{8})={\color{red}{(a+b)}}^{3+2+16}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{2+1+8}=\)
\(\displaystyle ={\color{red}{(a+b)}}^{21}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{11}\)
В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (xc)\), но нет \(\displaystyle (b-12c).\) Это означает, что \(\displaystyle (b-12c)\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Ответ: \(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle (b-12c)\) в нулевой степени дается следующим образом.
В произведении
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}\)
присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (xc)\) и нет \(\displaystyle (b-12c).\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle (b-12c)^{ 0}=1,\) то
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{1}\cdot (xc)^{11}= (a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{(b-12c)}^{ 0}\cdot (xc)^{11}.\)