Найдите основания и показатели степеней такие, чтобы выполнялось равенство:
| \(\displaystyle (ab\,)^{7}=\) | \(\displaystyle \cdot\) |
Произведение в степени
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle (ab\,)^{\,n}=a^{\,n} b^{\,n}.\)
Применим правило для нашего случая:
\(\displaystyle (ab\,)^{\,7}=a^{\,7} b^{\,7}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,7} b^{\,7}.\)
Распишем произведение \(\displaystyle (ab\,)^{\,7}\) по определению степени
\(\displaystyle (ab\,)^{\,7}=\underbrace{ab\ldots ab}_{7 \, раз}.\)
Сгруппируем отдельно все \(\displaystyle a\) и все \(\displaystyle b\). Тогда получаем:
\(\displaystyle \underbrace{ab\ldots ab}_{7 \, раз}=\underbrace{a\ldots a}_{7 \, раз} \cdot \underbrace{b\ldots b}_{7 \, раз}=a^{\, 7} \cdot b^{\, 7}.\)
Поэтому
\(\displaystyle (ab\,)^{\,7}=a^{\, 7} \cdot b^{\, 7}.\)