Найдите дробь и показатель степени, при которых выполняется равенство:
\(\displaystyle \frac{x^{\,35}}{y^{\,35}}=\left(\phantom{\frac{1}{3}}\right.\) |
\(\displaystyle \left.\phantom{\frac{1}{3}}\right)\) | ||
Частное в степени
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b=\not 0\) и натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}=\left(\frac{a}{b}\,\right)^n.\)
Применим правило для нашего случая:
\(\displaystyle \frac{x^{\,35}}{y^{\,35}}=\left(\frac{x}{y}\,\right)^{35}.\)
Ответ: \(\displaystyle \left(\frac{x}{y}\,\right)^{35}.\)
Распишем произведения в числителе и знаменателе дроби \(\displaystyle \frac{x^{\,35}}{y^{\,35}}\) по определению степени:
\(\displaystyle \frac{x^{\,35}}{y^{\,35}}=\frac{\overbrace{x\cdot\ldots \cdot x}^{35 \, раз}} {\underbrace{y\cdot\ldots\cdot y}_{35 \, раз}}.\)
Представим получившуюся дробь в виде произведения дробей:
\(\displaystyle \frac{\overbrace{x\cdot\ldots \cdot x}^{35 \, раз}} {\underbrace{y\cdot\ldots\cdot y}_{35 \, раз}}=\underbrace{\frac{x}{y}\cdot \ldots\cdot\frac{x}{y}}_{35 \, раз}.\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{x^{\,35}}{y^{\,35}}=\left(\frac{x}{y}\,\right)^{35}.\)