Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,- {n}},\)
или
\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, - {n}}.\)
Докажем правило, гласящее, что деление всегда можно заменить умножением.
Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,- {n}},\)
или
\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, - {n}}.\)
Действительно, так как частное и есть дробь
\(\displaystyle a:b^{\, n}=\frac{a}{b^{\, n}},\)
то можно расписать:
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}},\) или \(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}.\)
По определению отрицательной степени, \(\displaystyle \frac{1}{b^{\, n}}=b^{\, -n}.\) Поэтому
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n},\) или \(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,- {n}},\)
или
\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, - {n}}.\)