Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle x,\, y\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle y^{\,19}: x^{\,15}: y^{\,-11}:x^{\,37} = x\) | \(\displaystyle \cdot \, y\) |
Применим правило замены деления на умножение трижды.
Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-{n}}.\)
Первый раз применим его к делению на \(\displaystyle x^{\,15}:\)
\(\displaystyle y^{\,19}\color{green}{:x^{\,15}}:y^{\,-11}:x^{\,37}=y^{\,19}\cdot \color{green}{x^{\,-15}}:y^{\,-11}:x^{\,37}.\)
Второй раз – к делению на \(\displaystyle {y}^{\,-11}:\)
\(\displaystyle y^{\,19}\cdot x^{\,-15}\color{blue}{:y^{\,-11}}:x^{\,37}=y^{\,19}\cdot x^{\,-15}\cdot\color{blue}{y^{\,-(-11)}}:x^{\,37}=y^{\,19}\cdot x^{\,-15}\cdot\color{blue}{y^{\,11}}:x^{\,37}.\)
Третий раз – к делению на \(\displaystyle x^{\,37}:\)
\(\displaystyle y^{\,19}\cdot x^{\,-15}\cdot y^{\,11}\color{green}{:x^{\,37}}=y^{\,19}\cdot x^{\,-15}\cdot y^{\,11}\cdot\color{green}{x^{\,-37}}.\)
Далее применим правило сложения степеней:
\(\displaystyle \color{blue}{y^{\,19}}\cdot \color{green}{x^{\,-15}}\cdot \color{blue}{y^{\, 11}}\cdot \color{green}{x^{\,-37}}=\color{green}{x^{\,-15+(-37)}} \cdot \color{blue}{y^{\,19 +11}}=\color{green}{x^{\,- 52}}\cdot \color{blue}{y^{\,30}}. \)
Таким образом,
\(\displaystyle y^{\,19}: x^{\,15}: y^{\,-11}:x^{\,37} = x^{\,- 52}\cdot y^{\,30}.\)
Ответ:\(\displaystyle x^{\,- 52}\cdot y^{\,30}.\)