Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Квадратный корень и произведение

Задание

Вычислите значения корня:

\(\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{5})^2}=\)
\sqrt{5}-1
Решение

Используя правило, извлечем корень из полного квадрата.

Правило

Для любого неотрицательного произведения \(\displaystyle ab \) выполняется

\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ \left|a\,\right|}\cdot\sqrt{ \left|b\,\right|} \)

В частности,

\(\displaystyle \sqrt{ a^{\,2}}= \left|a\,\right|{\small . } \)

Получаем:

\(\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{5})^2}= \left| 1- \sqrt{ 5}\right|{\small . } \)

Раскроем модуль для получившегося выражения \(\displaystyle \left| 1- \sqrt{ 5}\right|{\small . } \)

Для этого определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle 1- \sqrt{ 5}{\small . } \)

\(\displaystyle 1- \sqrt{ 5}<0\)

 Поскольку \(\displaystyle 1-\sqrt{ 5}<0 {\small , } \) то знак модуля необходимо раскрыть со знаком минус:

\(\displaystyle \left| 1- \sqrt{ 5}\right|= -\left(1- \sqrt{ 5}\right)= \sqrt{ 5}-1{\small . } \)


Таким образом,

\(\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{5})^2}= \sqrt{ 5}-1{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \sqrt{ 5}-1{\small . } \)