Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Перепишем наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=z^{\, 2}+2\cdot z \cdot 1+1^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=z\) и \(\displaystyle b=1.\)
Поэтому
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=(z+1)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (z+1)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{z^{\,2}}+2z+\color{green}{1^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{z^{\, 2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{1^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle z\) или \(\displaystyle -z,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 1\) или \(\displaystyle -1\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=z,\)
\(\displaystyle b=1.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=z^{\,2}+\color{red}{2z}+1^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2z\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) параметра \(\displaystyle z,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 1.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot z\cdot 1,\)
\(\displaystyle 2ab=2z.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=z\) и \(\displaystyle b=1.\)
Поскольку
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=(a+b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=z\) и \(\displaystyle b=1\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=(z+1)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (z+1)^2.\)