Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое:

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\,\color{red}{ ?} -xy+(3y\,)^2=(4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2.\)

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2\)

является полным квадратом суммы, в котором необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle (4x\,)^2+\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\color{red}{(\,?-xy\,)}+(3y\,)^2=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты:

\(\displaystyle a^{\,2}=(4x\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(3y\,)^2,\)

но удвоенное произведение не известно:

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}\color{red}{(\,?-xy\,)}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{4x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-4x},\, b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3y}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{4x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{3y}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4x\cdot 3y,\)

\(\displaystyle 2ab=24xy.\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{ ?-xy}=24xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=24xy+xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=25xy.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (4x\,)^2 +\,\color{red}{ ?}-xy+(3y\,)^2=(4x\,)^2 \color{red}{ +25xy}-xy+(3y\,)^2\)

и

\(\displaystyle (4x\,)^2 {\bf +\,25}\pmb{x}\pmb{y}-xy+(3y\,)^2=({\bf 4}\pmb{x}+{\bf 3}\pmb{y}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4x\,)^2 {\bf +\,25}\pmb{x}\pmb{y}-xy+(3y\,)^2=({\bf 4}\pmb{x}+{\bf 3}\pmb{y}\,)^2.\)