Подставим табличные значения:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6} \color{blue}{\cos {\frac{\pi}{4}}}}{ \color{green}{\tg {\frac{\pi}{3}}}}=\frac{\sqrt{6} \cdot \color{blue}{\frac {\sqrt{2}}{2}}}{\color{green}{\sqrt{3}}}.\)

Упростим полученное числовое выражение.

Избавимся от "трехэтажной" дроби:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6} \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{ \frac {\sqrt{6} \cdot\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6} \cdot\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3}}.\)

Выполним действия с корнями:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6} \cdot\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\frac{6\cdot 2} {3} }\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{4} \cdot \frac {1}{2}=2 \cdot \frac {1}{2}=1.\)

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6} \cos {\frac{\pi}{4}}}{\tg {\frac{\pi}{3}}}=\frac{\sqrt{6} \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6} \cdot\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\frac{6\cdot 2} {3} }\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{4} \cdot \frac {1}{2}=2 \cdot \frac {1}{2}=1.\)

Ответ: \(\displaystyle 1 {\small.} \)