Найдите \(\displaystyle \tg \alpha,\) если \(\displaystyle \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \) и \(\displaystyle \alpha \in \big( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \big){\small.}\)
\(\displaystyle \tg \alpha=\)
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
Значение \(\displaystyle \cos \alpha \) дано по условию. Значит, нужно найти \(\displaystyle \sin \alpha{\small.}\)
Вспомним основное тригонометрическое тождество.
Для любого \(\displaystyle \alpha\) верно:
\(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1{\small.}\)
Зная косинус, нужно найти синус. Получаем:
\(\displaystyle \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha{\small.}\)
Подставим заданное по условию значение \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} :\)
\(\displaystyle \sin^2\alpha=1-\bigg(\frac{\sqrt{10}}{10} \bigg)^2=1-\frac{10}{100}=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}{\small.}\)
Если \(\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{9}{10},\) то
\(\displaystyle \sin\alpha=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}{\small,}\)
\(\displaystyle \sin\alpha=\pm \frac{3}{\sqrt{10}}{\small.}\)
Определим, какой именно знак имеет \(\displaystyle \sin\alpha{\small.}\)
По условию \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right){\small.}\)
В четвертой четверти значение синуса отрицательно. Следовательно,
\(\displaystyle \sin\alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{\color{blue}{\sin\alpha}}{\color{green}{\cos\alpha}}=\color{blue}{-\frac{3}{\sqrt{10}}}:\bigg(\color{green}{\frac{\sqrt{10}}{10}}\bigg)=-\frac{3 \cdot 10}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}=-\frac{3 \cdot 10}{10}=-3{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -3{\small.}\)