Найдите \(\displaystyle 3\cos\alpha,\) если \(\displaystyle \sin \alpha =- \frac{2\sqrt{2}}{3} \) и \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right){\small.}\)
\(\displaystyle 3\cos \alpha=\)
Вспомним основное тригонометрическое тождество.
\(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)
Зная синус, нужно найти косинус.
Выразим синус через косинус из основного тригонометрического тождества.
Получаем:
\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha{\small.}\)
Подставим заданное по условию значение \(\displaystyle \sin \alpha =- \frac{2\sqrt{2}}{3} {:}\)
\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\bigg(- \frac{2\sqrt{2}}{3} \bigg)^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}{\small.}\)
Если \(\displaystyle \cos^2\alpha=\frac{1}{9},\) то
\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \sqrt{ \frac{1}{9}}{\small,}\)
\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \frac{1}{3}{\small.}\)
Определим, какой знак имеет \(\displaystyle \cos\alpha{\small.}\)
По условию \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right){\small.}\)
В четвертой четверти значение косинуса положительно. Следовательно,
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{1}{3}{\small.}\)
Тогда,
\(\displaystyle 3\cos \alpha=3 \cdot \frac{1}{3}=1{\small.}\)
Ответ:\(\displaystyle 1{\small.}\)