Найдите \(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg),\) если \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6 \) и \(\displaystyle \alpha \in \bigg( \pi;\frac{3\pi}{2} \bigg) {\small.}\)
\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=\)
Для выражения \(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)\) применим формулу приведения.
Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle \frac{5\pi}{2} - \alpha \) (считая, что \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \) ):
В четверти тангенс положительный.
Так как первое слагаемое имеет вид \(\displaystyle \frac{\pi k}{2} ,\) где \(\displaystyle k\) – целое, то функция меняется.
Значит,
\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=9\ctg \alpha{\small.}\)
Найдем \(\displaystyle \ctg\alpha\) по формуле
\(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}\)
По условию \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6{\small.}\)
Найдем \(\displaystyle \cos \alpha\).
Вспомним основное тригонометрическое тождество.
\(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2 \alpha=1\)
Отсюда получаем:
\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha{\small.}\)
Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6 {:}\)
\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-( -0{,}6)^2=1 -0{,}36= 0{,}64{\small.}\)
Если \(\displaystyle \cos^2\alpha=0{,}64,\) то
\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \sqrt{0{,}64},\)
\(\displaystyle \cos\alpha=\pm 0{,}8{\small.}\)
Определим, какой именно знак имеет \(\displaystyle \cos\alpha{\small.}\)
По условию \(\displaystyle \alpha \in \left( \pi;\frac{3\pi}{2} \right){\small.}\)
В третьей четверти значение косинуса отрицательно. Следовательно,
\(\displaystyle \cos\alpha=-0{,}8{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}=\frac{-0{,}8}{-0{,}6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=9\ctg \alpha=9 \cdot \frac{4}{3}=\frac{9 \cdot 4}{3}=12{\small.}\)
Ответ:\(\displaystyle 12{\small.}\)