Алдымен \(\displaystyle x^{\,4}-2y^{\,7}z^{\,5}\) өрнегінің әрбір мүшесін \(\displaystyle -36y^{\,8}z^{\,4}\) көбейту арқылы жақшаларды ашамыз :

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{red}{-36y^{\,8}z^{\,4}} \cdot (x^{\,4}-2y^{\,7}z^{\,5})-60xy^{\,10}z^{\,10}= \\[10px]\kern{6em} =\color{red}{(-36y^{\,8}z^{\,4})}\cdot x^{\,4}-\color{red}{(-36y^{\,8}z^{\,4})}\cdot 2y^{\,7}z^{\,5}-60xy^{\,10}z^{\,10}= \\[10px]\kern{12em} =-36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10} {\small .}\end{array}\)

Енді жақшаның сыртына шығару қажет ортақ көбейткішті табамыз.

\(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}\)  өрнегі \(\displaystyle -\color{blue}{36}\color{green}{x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}},\) \(\displaystyle \color{blue}{72}\color{green}{y^{\,15}z^{\,9}}\) және \(\displaystyle -\color{blue}{60}\color{green}{xy^{\,10}z^{\,10}}{\small }\)   үш бірмүшелерінен тұрады.

Бұл өрнектер үшін бізге жақшаның сыртына шығарғанда, жақшада қалған бірмүшелердің ортақ көбейткіштері болмайтындай ортақ көбейткішті табу керек .

 \(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}, \, 72y^{\,15}z^{\,9}\) және \(\displaystyle -60xy^{\,10}z^{\,10}\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгішін сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің ең кіші дәрежедегі ортақ айнымалыларына көбейтіндісі ретінде есептейік.

1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:

• \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 72=2^3\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 60=2^2\cdot 3\cdot 5\)

Жай көбейткіштерге жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 2^2\cdot 3=12{\small }\) тең болатындығы шығады.

2.  \(\displaystyle x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}, \, y^{\,15}z^{\,9}\) және \(\displaystyle xy^{\,10}z^{\,10}\) өрнектеріндегі ең кіші дәрежелі ортақ айнымалыларды таңдайық, –  бұл \(\displaystyle y^{\,8}\) және \(\displaystyle z^{\,4} {\small .}\)

Яғни, \(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}\)  өрнегінде \(\displaystyle 12y^{\,8}z^{\,4}{\small }\)  ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығаруға болады.  Есептің шарты талап еткендей, минус таңбасы бар осы көбейткішті шығарайық:

\(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}=-12y^{\,8}z^{\,4}\left(-\frac{36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}+\frac{72y^{\,15}z^{\,9}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}-\frac{60xy^{\,10}z^{\,10}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}\right) {\small .}\)

және, демек,

\(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}=-12y^{\,8}z^{\,4}(3x^{\,4}-6y^{\,7}z^{\,5}+5xy^{\,2}z^{\,6}){\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle -12y^{\,8}z^{\,4}(3x^{\,4}-6y^{\,7}z^{\,5}+5xy^{\,2}z^{\,6}){\small .}\)