Выражение \(\displaystyle 24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}+12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}-30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}-54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}\) состоит из четырех одночленов \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}}, \, \color{blue}{12}\color{green}{v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}}, \, -\color{blue}{30}\color{green}{v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{54}\color{green}{v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}}{\small .}\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.

Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle 24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}, \, 12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}, \, -30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}\) и \(\displaystyle -54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени.

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов:

• \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3\)
• \(\displaystyle 12=2^2\cdot 3\)
• \(\displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\)
• \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\)

Из разложения на простые множители следует, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 2\cdot 3=6{\small .}\)

2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}, \, v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}, \, v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}\) и \(\displaystyle v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}\) с наименьшим показателем степени, –  это \(\displaystyle v^{\,2}, \, y^{\,3}\) и \(\displaystyle z^{\,4} {\small .}\)

Значит, в выражении \(\displaystyle 24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}+12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}-30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}-54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} 24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}&+12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}-30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}-54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}=\\ &=6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}\left(\frac{24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}}{6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}}+\frac{12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}}{6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}}-\frac{30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}}{6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}}-\frac{54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}}{6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}}\right) \end{aligned}\)

и, следовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} 24v^{\,6}y^{\,4}z^{\,4}+12v^{\,2}x^{\,2}y^{\,3}z^{\,7}&-30v^{\,7}x^{\,6}y^{\,3}z^{\,7}-54v^{\,2}xy^{\,9}z^{\,4}=\\ &=6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}\,(4v^{\,4}y+2x^{\,2}z^{\,3}-5v^{\,5}x^{\,6}z^{\,3}-9xy^{\,6}){\small .} \end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 6v^{\,2}y^{\,3}z^{\,4}\,(4v^{\,4}y+2x^{\,2}z^{\,3}-5v^{\,5}x^{\,6}z^{\,3}-9xy^{\,6}){\small .}\)