Выражение \(\displaystyle 24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}-18x^{\,7}z^{\,7}+54x^{\,9}y^{\,6}\) состоит из трех одночленов \(\displaystyle \color{blue}{24}\color{green}{x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}}, \, -\color{blue}{18}\color{green}{x^{\,7}z^{\,7}}\) и \(\displaystyle \color{blue}{54}\color{green}{x^{\,9}y^{\,6}} {\small .}\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.

Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle 24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}, \, -18x^{\,7}z^{\,7}\) и \(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,6}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени.

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов:

• \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3\)
• \(\displaystyle 18=2\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\)

Из разложения на простые множители следует, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 2\cdot 3=6{\small .}\)

2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}, \, x^{\,7}z^{\,7}\) и \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,6}\) с наименьшим показателем степени, –  это \(\displaystyle x^{\,7} {\small .}\)

Значит, в выражении \(\displaystyle 24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}-18x^{\,7}z^{\,7}+54x^{\,9}y^{\,6}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 6x^{\,7}.\)  Вынесем этот множитель со знаком минус, как того требует условие задачи:

\(\displaystyle 24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}-18x^{\,7}z^{\,7}+54x^{\,9}y^{\,6}=-6x^{\,7} \,\left(\frac{24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}}{-6x^{\,7}}-\frac{18x^{\,7}z^{\,7}}{-6x^{\,7}}+\frac{54x^{\,9}y^{\,6}}{-6x^{\,7}}\right)\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 24x^{\,7}y^{\,4}z^{\,8}-18x^{\,7}z^{\,7}+54x^{\,9}y^{\,6}=-6x^{\,7}\,(-4y^{\,4}z^{\,8}+3z^{\,7}-9x^{\,2}y^{\,6}) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -6x^{\,7}\,(-4y^{\,4}z^{\,8}+3z^{\,7}-9x^{\,2}y^{\,6}) {\small .}\)