Қысқартылған көбейту формулаларын пайдаланып өрнекті ықшамдаңыз:
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2{\small . }\)
Қосынды квадратының формуласын қолданайық, мұндағы \(\displaystyle a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\) және \(\displaystyle b=\sqrt{2-\sqrt{3}}{\small . }\) Төмендегілерді аламыз:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2= \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2 {\small . }\)
Түбір анықтамасы бойынша, \(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2=2+\sqrt{3}\) және \(\displaystyle \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2=2-\sqrt{3}{\small . } \)
Сонымен қатар, түбірдің қасиеттері бойынша
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}= 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}{\small . } \)
Квадраттар айырмашысы формуласы бойынша \(\displaystyle (2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)=2^2-(\sqrt{3}\,)^2{\small , } \) болғандықтан, онда
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}= 2\sqrt{2^2-(\sqrt{3}\,)^2}= 2\sqrt{ 4-3}=2\sqrt{ 1}=2\cdot 1=2 {\small . }\)
Демек,
\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2= 2+\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}= 6{\small . }\)
Жауабы: \(\displaystyle 6{\small . } \)