Воспользуемся формулой разности квадратов, где \(\displaystyle a=\sqrt{ a^2+3} \) и \(\displaystyle b= a- \sqrt{ 3} \,{\small : }\)

\(\displaystyle (\sqrt{a^2+3}-(a- \sqrt{ 3}\,))(\sqrt{a^2+3}+(a- \sqrt{ 3}\,))= (\sqrt{ a^2+3}\,)^2- (a- \sqrt{ 3} \,)^2 {\small . }\)

По определению корня, \(\displaystyle (\sqrt{ a^2+3}\,)^2=a^2+3{\small . } \)

С другой стороны, воспользовавшись формулой квадрата разности, раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (a- \sqrt{ 3} \,)^2 {\small . } \)

Тогда

\(\displaystyle (a- \sqrt{ 3} \,)^2= a^2-2\cdot a\cdot \sqrt{ 3}+ (\sqrt{ 3}\,)^2= a^2-2a\sqrt{ 3}+3 {\small . } \)

Подставляя полученное в исходное выражение, получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{ a^2+3}\,)^2- (a- \sqrt{ 3} \,)^2= a^2+3-(a^2-2a\sqrt{ 3}+3)= a^2+3-a^2+2a\sqrt{ 3}-3= 2a\sqrt{ 3}{\small . }\)

Ответ: \(\displaystyle 2a\sqrt{ 3}{\small . } \)