Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2{\small . }\)
Воспользуемся формулой квадрата суммы, где \(\displaystyle a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\) и \(\displaystyle b=\sqrt{2-\sqrt{3}}{\small . }\) Получаем:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2= \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2 {\small . }\)
По определению корня, \(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2=2+\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2=2-\sqrt{3}{\small . } \)
Кроме того, по свойствам корня
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}= 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}{\small . } \)
Так как по формуле разности квадратов \(\displaystyle (2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)=2^2-(\sqrt{3}\,)^2{\small , } \) то
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}= 2\sqrt{2^2-(\sqrt{3}\,)^2}= 2\sqrt{ 4-3}=2\sqrt{ 1}=2\cdot 1=2 {\small . }\)
Значит,
\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2= 2+\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}= 6{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small . } \)