Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Разность квадратов, квадрат суммы/разности и выражения, содержащие радикал

Задание

Найдите произведение, используя формулы сокращенного умножения:

\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2=\)
2
Решение

Формула квадрата разности

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Воспользуемся формулой квадрата разности, где \(\displaystyle a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\) и \(\displaystyle b=\sqrt{2-\sqrt{3}}{\small . }\) Получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2= \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2-2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2 {\small . }\)

По определению корня,

\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2=2+\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2=2-\sqrt{3}{\small . } \)

Кроме того, по свойствам корня

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}= 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}{\small . } \)

Так как по формуле разности квадратов \(\displaystyle (2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)=2^2-(\sqrt{3}\,)^2{\small , } \) то

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}= 2\sqrt{2^2-(\sqrt{3}\,)^2}= 2\sqrt{ 4-3}=2\sqrt{ 1}=2\cdot 1=2 {\small . }\)

Значит,

\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2-2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2= 2+\sqrt{3}-2+2-\sqrt{3}= 2{\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle 2{\small . } \)