Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Вычисления, связанные с характеристическим свойством

Задание

В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{9} + a_{10} = 7\). Найти сумму \(\displaystyle S_{18}\) первых восемнадцати членов данной прогрессии.

\(\displaystyle S_{18}=\)
63
Решение

Решение 1.

Найдем сумму 

\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18}{ \small ,} \)

используя характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Правило

Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии

\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)

\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)

Согласно этому свойству,

\(\displaystyle a_1 + a_{18} = a_2 + a_{17} = ... = a_{9} + a_{10} {\small .}\)

Всего таких пар будет девять, так как в первой паре есть первый элемент, во второй - второй, и т.д., а в последней - девятый. 

Выделим эти пары в исходной сумме \(\displaystyle S_{18}{\small .} \)

Получаем:

\(\displaystyle S_{18} = a_1 + a_2 + ... + a_{18} { \small ,}\)

\(\displaystyle S_{18} = (a_1 + a_{18})+(a_2 + a_{17})+\ldots+(a_{9} + a_{10}) { \small ,}\)

\(\displaystyle S_{18} = \underbrace{(a_{9} + a_{10})+(a_{9} + a_{10})+\ldots+(a_{9} + a_{10})}_{9 \text{ раз}} { \small ,}\)

\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot (a_{9}+a_{10}){ \small .}\)

Так как по условию \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7{ \small ,} \) то

\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot 7{ \small ,}\)

\(\displaystyle S_{18} = 63{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 63{\small .}\)


Решение 2.

Выразим сумму 

\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18} \)

через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)

Поскольку

\(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,}\quad a_3=a_1+2d{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad a_{18}=a_1+17d{ \small ,} \)

то получаем:

\(\displaystyle S_{18}=a_1+ (a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+(a_1+17d){ \small .}\)

Сложим отдельно \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \) Тогда

\(\displaystyle S_{18}=\underbrace{a_1 + a_1 + ... + a_1}_{18 \text{ раз}}+ (d+2d+\ldots+17d){ \small ,}\)

\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot (1+2+\ldots+17){ \small .}\)

Посчитаем отдельно сумму

\(\displaystyle 1+2+\ldots+17{\small .} \)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+17=(1+17)+&(2+16)+\ldots+(8+10)+9=\\&=\underbrace{18+18+\ldots+18}_{8\text{ раз}}+9=8\cdot 18+9=153{\small .}\end{aligned} \)

Подставляя в \(\displaystyle S_{18}{ \small ,} \) получаем:

\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot 153=18a_1+ 153d=9(2a_1+17d){ \small .}\)

Поскольку \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=(a_1+8d)+(a_1+9d)=2a_1+17d \) и по условию \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7{ \small ,} \) то

\(\displaystyle S_{18}=9\cdot 7=63{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle 63{\small .}\)