В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_2= 26\). Найти сумму \(\displaystyle S_3\) первых трех членов данной прогрессии.
Решение 1.
Найдем сумму
\(\displaystyle S_3=a_1+a_2+a_3{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle a_1 + a_3 = 2a_2{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle S_3 = a_1 + a_2 + a_3 =a_2 + (a_1 + a_3)= a_2 + 2a_2 = 3a_2{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_3 = 3 \cdot 26{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_3 = 78{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 78{\small .}\)
Решение 2.
Перепишем данную сумму \(\displaystyle S_3=a_1+a_2+a_3 \) через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)
Так как
\(\displaystyle a_2=a_1+d \) и \(\displaystyle a_3=a_1+2d{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle S_3=a_1+a_2+a_3=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d=3(a_1+d){ \small .} \)
Поскольку по условию \(\displaystyle a_2=26 \) и \(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,} \) то
\(\displaystyle S= 3(a_1+d)=3a_2{ \small ,} \)
\(\displaystyle S=3\cdot 26=78{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 78{\small .}\)