В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{9} + a_{10} = 7\). Найти сумму \(\displaystyle S_{18}\) первых восемнадцати членов данной прогрессии.
Решение 1.
Найдем сумму
\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18}{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle a_1 + a_{18} = a_2 + a_{17} = ... = a_{9} + a_{10} {\small .}\)
Всего таких пар будет девять, так как в первой паре есть первый элемент, во второй - второй, и т.д., а в последней - девятый.
Выделим эти пары в исходной сумме \(\displaystyle S_{18}{\small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle S_{18} = a_1 + a_2 + ... + a_{18} { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = (a_1 + a_{18})+(a_2 + a_{17})+\ldots+(a_{9} + a_{10}) { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = \underbrace{(a_{9} + a_{10})+(a_{9} + a_{10})+\ldots+(a_{9} + a_{10})}_{9 \text{ раз}} { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot (a_{9}+a_{10}){ \small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7{ \small ,} \) то
\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = 63{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 63{\small .}\)
Решение 2.
Выразим сумму
\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18} \)
через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)
Поскольку
\(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,}\quad a_3=a_1+2d{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad a_{18}=a_1+17d{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle S_{18}=a_1+ (a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+(a_1+17d){ \small .}\)
Сложим отдельно \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \) Тогда
\(\displaystyle S_{18}=\underbrace{a_1 + a_1 + ... + a_1}_{18 \text{ раз}}+ (d+2d+\ldots+17d){ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot (1+2+\ldots+17){ \small .}\)
Посчитаем отдельно сумму
\(\displaystyle 1+2+\ldots+17{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+17=(1+17)+&(2+16)+\ldots+(8+10)+9=\\&=\underbrace{18+18+\ldots+18}_{8\text{ раз}}+9=8\cdot 18+9=153{\small .}\end{aligned} \)
Подставляя в \(\displaystyle S_{18}{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot 153=18a_1+ 153d=9(2a_1+17d){ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=(a_1+8d)+(a_1+9d)=2a_1+17d \) и по условию \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7{ \small ,} \) то
\(\displaystyle S_{18}=9\cdot 7=63{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 63{\small .}\)