Бірінші тәсіл.

Бізге \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.

\(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) ескерейік, сондықтан қосынды квадратының формуласы анық көрінетін етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:  

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)

Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2=(3t+7x\,)^2.\)

Осылайша,

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)

Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).

Бізге \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.

Сәйкесінше,

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\)

табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін дұрыс болып табылады.

\(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) екендігін ескерейік, сондықтан

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)

Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}+2(3t\,)(7x\,)+\color{green}{(7x\,)^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7x\,)^2}.\)

Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle 3t\) немесе \(\displaystyle -3t,\) ал \(\displaystyle b\) \(\displaystyle 7x\) немесе \(\displaystyle -7x\) болуы мүмкін (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз). 

Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:

\(\displaystyle a=3t,\)

\(\displaystyle b=7x.\)

Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 3t,\) өрнегін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 7x\) өрнегін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет

\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(3t\,)^2+\color{red}{2(3t\,)(7x\,)}+(7x\,)^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(3t\,)(7x\,)\)

Алмастыра отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3t\cdot 7x,\)

\(\displaystyle 2ab=2(3t\,)(7x\,).\)

Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(a+b\,)^2\) болғандықтан

онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) алмастыра отырып, келесіні аламыз: 

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)