Қосындының квадратын табыңыз:
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
\(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2\) және \(\displaystyle 25=5^2.\) екендігін ескерейік. Сондықтан қосынды квадратының формуласы анық көрінетін етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=2x\) және \(\displaystyle b=5\) қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x+5)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x+5)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (2x+5)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Сәйкесінше,
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
және
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(a+b\,)^2\)
табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін дұрыс болып табылады.
\(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2\) және \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25\) екендігін ескерейік.
\(\displaystyle a^{\,2}=(2x\,)^2\) болса, онда \(\displaystyle a=2x\) немесе \(\displaystyle a=-2x\) (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз).
(\(\displaystyle {\bf +}\)) таңбасы бар нұсқаны таңдаймыз, яғни \(\displaystyle a=2x.\)
Төмендегі теңдігімізді
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25=\color{blue}{a}^{\, 2}+2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a}\) орнына \(\displaystyle \color{blue}{2x}\) өрнегін алмастыра отырып, қайта жазайық:
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25=\color{blue}{(2x\,)}^2+2\cdot\color{blue}{2x}\cdot b+b^{\, 2}.\)
\(\displaystyle x\) параметрі бар өрнектің сол жағында \(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot 5,\) ал оң жағында \(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot b\) қосылғышы тұр. Оларды теңестіреміз:
\(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot 5=2\cdot 2x\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{2\cdot 2x\cdot 5}{2\cdot 2x},\)
\(\displaystyle b=5.\)
Осылайша, \(\displaystyle a=2x\) және \(\displaystyle b=5.\)
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(a+b\,)^2\) теңдігін алмастыра отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x+5)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (2x+5)^2.\)